Метки

, ,

Казалось бы, задание найти плотность распределения вероятности суммы, произведения или любой другой функции от нескольких случайных величин достаточно тривиальная задача, но когда ты не спец в теорвере и нужно быстро понять что к чему, возникают проблемы. В справочниках, на форумах приводятся странные формулы разобраться с которыми сейчас попробуем.

Источником вдохновения послужил прекрасный в своей емкости и лаконичности Теорвер Онлайн.  В главе о формуле свертки приведен человеческий вывод формулы плотности и самого распределения вероятности суммы двух случайных величин. Плотность произведения можно получить подобным образом.

Пусть есть независимые случайные величины \eta и \xi с плотностями распределения p_\eta(x) и p_\xi(x) соответственно, для простоты, определенные на всей числовой оси. Тогда распределение произведения \eta\xi будет иметь следующий вид:

F_{\eta\xi}(x) = P\{\eta\xi \le x\} = \iint\limits_{\eta\xi \le x} p_{\eta\xi}(x_1, x_2)\mathrm dx_1\mathrm  dx_2.

Так как \eta и \xi независимы, то p_{\eta\xi}(x_1, x_2)=p_\eta(x_1)p_\xi(x_2):

F_{\eta\xi}(x) = P\{\eta\xi \le x\} = \iint\limits_{\eta\xi \le x} p_\eta(x_1)p_\xi(x_2)\mathrm dx_1\mathrm  dx_2.

Сделаем замены переменных: x_1 = u, x_1x_2 = v \Rightarrow x_2 = \dfrac{v}{x_1}= \dfrac{v}{u}. Тогда по переменной u интегрируем по всей области определения p_\eta(x), а область интегрирования v имеет границами -\infty и x.

\mathrm dx_1 = \mathrm du, \mathrm dx_2|_{x_1 = const} = \dfrac{\mathrm dv}{x_1}= \dfrac{\mathrm dv}{u}.

F_{\eta\xi}(x) = \int\limits_{-\infty}^x \mathrm dv\left[ \int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{\mathrm du}{|u|} p_\eta(u)p_\xi\left(\dfrac{v}{u}\right)\right] .

Очевидно, в квадратных скобках имеем выражение для плотности распределения вероятности произведения двух случайных величин.

Реклама