Метки

Многим со школы известна формула интегрирования по частям в виде

\int\limits_a^b uv'\mathrm dx = uv|_a^b - \int\limits_a^b u'v\mathrm dx.

Для операций с тензорами и векторами ситуация чуток разнообразней.

Пусть имеется открытое множество D \in \mathbb R^n с границей \partial D = \Gamma. Тогда, если u и v две непрерывно дифференцируемые функции на D, то

\int\limits_D \dfrac{\partial u}{\partial x_i}v \mathrm d D = \int\limits_\Gamma uv \nu_i \mathrm d \Gamma - \int\limits_D u\dfrac{\partial v}{\partial x_i} \mathrm d D,

где \nu_i — компоненты нормали к границе области. Для векторов особенно интересными являются следующие случаи:

\int\limits_D \nabla u \cdot \mathbf v \mathrm d D = \int\limits_\Gamma u \mathbf v \cdot \hat \nu \mathrm d \Gamma - \int\limits_D u \nabla \cdot \mathbf v \mathrm d D,

\int\limits_D \nabla u \cdot \nabla v \mathrm d D =  \int\limits_\Gamma u \nabla v \cdot \hat \nu \mathrm d \Gamma -   \int\limits_D u \Delta v \mathrm d D ,

где \hat \nu \in \mathbb R^n — нормаль к границе области. Формулы есть, осталось их успешно применять 🙂

P. S. Интерпретатор латеховских формул — невероятный подарок вордпресса всем, кто не желает пользоваться услугами сторонних серверов типа texify, который в некоторых случаях бывает просто незаменим, надо сказать.

Реклама